Cenni sulla Relatività generale (seconda parte)

“Alesia e i suoi compagni di viaggio” ringraziano la professoressa Maria Pia Strocchi che ancora una volta con una splendida “lezione” arricchisce la rubrica settimanale

Torno ora un momento indietro nel mio discorso. Abbiamo visto con ,l’esempio dell’ascensore in caduta libera che il campo gravitazionale si comporta come un campo di forze fittizie,  variabile a seconda del riferimento usato per descriverlo. Questo risultato è stato di importanza fondamentale per la fisica del XX secolo perché ha fornito ad Einstein l’idea geniale che invece che di forze gravitazionali si sarebbe potuto parlare di geometria del mondo quale quella dei riferimenti cartesiani applicati alle geometrie non euclidee perché  rapportata alla presenza di  masse attrattive quindi generanti moti accelerati. I due postulati sui quali si basa la Relatività generale sono:

  1. il Principio d’invarianza secondo il quale le leggi della fisica hanno la stessa espressione in tutti i Sistemi di riferimento indipendentemente dai loro moti relativi
  2. il Principio d’equivalenza secondo il quale, come visto a proposito dell’ascensore in caduta libera, un riferimento accelerato uniformemente con accelerazione -g è equivalente ad un campo gravitazionale. 

Per un decennio Albert Einstein, a partire dal 1905, anno in cui pubblicò la Relatività ristretta che modificava la Relatività galileiana nel caso di velocità dei corpi vicina alla velocità della luce nel vuoto, andava cercando   di stabilire una teoria che permettesse di rendere invarianti   le leggi della fisica anche nei riferimenti accelerati, legati  a forze attrattive proporzionali alla massa dei corpi   come nel caso della gravità, forze quindi generanti uguali accelerazioni dei corpi. I suoi tentativi sono perfettamente riusciti nel solo caso della gravitazione, quella legge che tanto aveva dato da pensare a proposito del modo col quale agiva su corpi massivi e a proposito della causa che la faceva agire (Si ricordi l’Hypotheses non fingo di Newton).

 Riducendo la presenza di un campo gravitazionale  generato da una massa  m al moto uniformemente accelerato di un riferimento, egli gettò le basi per descrivere tale moto mediante una   curvatura dello spazio-tempo in uno spazio non euclideo. Einstein si avvale di quella curvatura per mimare l’effetto prodotto dall’attrazione gravitazionale esercitata da un corpo su di un altro.    Le linee a curvatura dipendente dai valori delle masse che mimano, si sostituiscono alle linee rette percorse con moto uniforme che avremmo riscontrato in assenza   di una  massa attrattiva. Tutto ciò è legato quindi alla ricerca di ampliamento del numero dei riferimenti per i quali le leggi della fisica sono le stesse. Si tratta quindi voler seguire il principio di semplicità nella descrizione del mondo che ci circonda, quindi nel seguire un principio metafisico. Per la meccanica newtoniana e per la Relatività ristretta si trattava degli infiniti sistemi inerziali, infiniti come  sono infinite le velocità costanti dei riferimenti l’uno rispetto all’altro, per la Relatività generale si tratta di adottare quel sistema descrittivo geometrico, che si sostituisce al campo di forze gravitazionali nel quale si esprima la traiettoria di ogni corpo in presenza di una massa.

Il trasferire l’effetto prodotto da  un campo di forze ad una geometria non euclidea cioè ad un  diagramma cartesiano in uno spazio-tempo curvo ha acceso una   rivalità fra fisici e matematici ed anche, secondo me, qualche problema sulla interpretazione  che ne deriva del mondo che ci circonda. I matematici cercavano di mettere in primo piano l’accento su di una geometrizzazione della fisica, mentre i fisici replicavano che la matematica implicata lo era solo come linguaggio   che si riferiva comunque allo studio del mondo fisico. 

Nella Fig. 1 vediamo un tracciato illustrante le linee modificate dello spazio tempo non euclideo  così diverse da quelle rappresentanti lo spazio euclideo che ci è familiare.

Le linee a curvatura dipendente dai valori delle masse che mimano, si sostituiscono alle linee rette   che avremmo riscontrate in uno spazio euclideo.

Per la meccanica newtoniana il moto si riferiva ad uno degli infiniti riferimenti euclidei, infiniti come possono essere  infinite le velocità costanti dei riferimenti inerziali l’uno rispetto all’altro.    Nella Relatività generale  si allontana  lo spazio euclideo nel quale le figure si disegnano con riga (corpo rigido per definizione e quindi indeformabile), e compasso, dai  sistemi di riferimento non euclidei   con curvatura della trama dello spazio-tempo che indica la presenza di una massa attrattiva. Sono da ora in poi queste linee curve   che costituiscono il substrato  necessario per evidenziare il comportamento di un corpo in presenza di  una massa attrattiva. In presenza di una massa un corpo che si trovi nel suo raggio d’azione   non si muove più come quando non era soggetto a forze, in modo rappresentabile in riferimenti euclidei, ma segue una curva chiamata geodetica che si disegna in quel mondo  non euclideo. La trasposizione di una situazione esaminata secondo la meccanica newtoniana attraverso le forze che un corpo riscontrerebbe nel suo cammino nel campo gravitazionale di una massa attrattiva, con un percorso obbligato del corpo in uno spazio modificato nella sua forma dalla variazione locale del campo gravitazionale della massa attrattiva, ha costituito un enorme stimolo alla ricerca di una descrizione generale valida per tutti i campi di forze. Anche limitandoci al solo   campo gravitazionale, dobbiamo questo  enorme  risultato all’intelligenza di Albert Einstein che ha ridefinito il concetto di spazio considerandolo come qualcosa capace di estrinsecarsi in  un reticolato di forma e curvatura variabili.    Questi spazi non piani e solcati dalle linee cartesiane che si adeguano  ai valori locali dei campi gravitazionali creati da masse attrattive, sui quali si disegnano le geodetiche che rappresentano le posizioni dei corpi negli spazi non euclidei,    variano a seconda del variare del campo gravitazionale che rappresentano in forma geometrica.  Queste superfici  appartenenti a corpi quadridimensionali (tre dimensioni spaziali ed una temporale)   sono stati paragonati da Einstein   ad un grande mollusco che nella vicinanza di ogni massa attrattiva  opera su se stesso quelle trasformazioni  necessarie alla descrizione del campo gravitazionale sostituendo  la variabilità del campo gravitazionale alle caratteristiche dello spazio nel quale disegnare le geodetiche percorse dai corpi.

Nella Fig. 1 vediamo illustrato lo spazio non euclideo determinato dalla presenza di due masse attrattive.    Secondo la teoria della Relatività generale  anche i riferimenti solidali con corpi che cadono per effetto della gravità, quindi riferimenti accelerati, fanno parte dell’ insieme di riferimenti nei quali le leggi della fisica sono le stesse. La semplificazione della descrizione della natura ha avuto così un grosso impulso. E l’equivalenza fra riferimenti accelerati  e   campo gravitazionale agente si esprime mediante quello che viene chiamato   Principio di equivalenza,  principio base[Maria Pia1]   della Relatività generale, come sopra ricordato.   Si dice che Einstein non fosse molto preparato in matematica e quindi per utilizzare la matematica necessaria per addivenire alla sua Teoria della Relatività generale si sia dovuto far aiutare da amici esperti matematici. Non  so  se ciò sia vero o sia un’invenzione, fatto sta che il contributo dato da Einstein alla ricerca di nuove idee in fisica è stato determinante specie in quei punti nevralgici nei quali si trovava  la scienza nel suo cercare un  percorso esplicativo dei fenomeni naturali.  Mi riferisco alla scoperta della non invarianza delle equazioni di Maxwell per trasformazioni di Galileo che dette ad Einstein insieme a Lorentz lo spunto per fornire le basi della Relatività ristretta che illustrerò in un prossimo articolo, alla Relatività generale che uniformò i sistemi accelerati ai campi gravitazionali, allo studio  del moto Browniano che dette la prova della composizione particellare della materia, allo studio dell’effetto fotoelettrico che dette l’avvio alla Teoria dei quanti.

Vediamo ora come dal Principio d’equivalenza possiamo dedurre tanti fatti che si verificano in natura e che erano già stati acquisiti alla scienza fisica mediante il lavoro sperimentale  dall’epoca di Galileo e Newton, che nonostante siano trascorsi oltre tre secoli    rimane   un faro di primaria grandezza nello sviluppo del pensiero in generale. Del resto non possiamo imputare a Galileo e Newton delle colpe che ai loro  tempi non era possibile attribuire loro. Anzi dobbiamo   essere grati a loro per aver dato l’avvio alla vera ricerca in fisica.

Vediamo ancora che il Principio di equivalenza presuppone l’uguaglianza fra massa inerziale   e massa gravitazionale di un corpo come si nota in Fig .2 . Se infatti questa uguaglianza non sussistesse non potremmo equiparare un campo gravitazionale ad un riferimento accelerato, cosa che facciamo invece agevolmente in quanto presupposto in Fig.2.

 Essendo però la massa inerziale sempre la stessa   ed essendo invece la massa gravitazionale dipendente dal punto nel quale la massa si trova, (per il fatto che il campo gravitazionale è, anche se di poco, variabile col punto), l’uguaglianza fra le due masse è un dato locale, ma del tutto interno alla teoria.    Il Principio di equivalenza   ha una validità generale perché non si riferisce solo al campo gravitazionale terrestre, ma a tutte le  masse in presenza le une con le altre, cioè all’intero campo delle azioni gravitazionali..

Una conseguenza della teoria verificata dall’esperimento fu la deviazione di un raggio di luce proveniente da una stella la cui immagine nel cielo stellato appariva   molto vicina al Sole durante l’eclissi totale del 1919.  Il raggio di luce che trasportava l’immagine della stella risultò   deviato  nel suo percorso dal forte campo gravitazionale solare, nel modo e nei termini  previsti dalla teoria.

Altra conseguenza fu laspiegazione della precessione del perielio del pianeta Mercurio relazionata al maggior campo gravitazionale esercitato dal Sole su Mercurio, il suo più prossimo pianeta. Questa precessione che non era giustificata dall’azione di tutti gli altri pianeti su Mercurio   seguendo la meccanica newtoniana,   fu invece spiegata dal percorso di Mercurio sulla geodetica relativa allo spazio non euclideo dovuto al campo gravitazionale del Sole   Per avere un’idea dell’entità di questa precessione si ricorda che una rotazione completa dell’ellisse percorsa da Mercurio intorno al Sole impiega tre milioni di anni. 

In chiusura di questo argomento voglio spiegare perché ho anticipato questi brevi cenni di Relatività generale alla trattazione un po’ più estesa della Relatività ristretta che seguirà gli articoli sull’elettromagnetismo e che precede storicamente la Relatività generale. L’ho fatto perché dopo l’accenno ai Sistemi di riferimento della meccanica newtoniana che offrono visioni diverse per gli osservatori ad essi solidali, ho trovato una sponda comoda per introdurre, anche se in maniera estremamente sintetica qualche cenno, tuttavia quanto mai incompleto,  di Relatività generale. D’altra parte i concetti possono essere capiti, ma la matematica che l’equazione fornita dalla teoria per la curvatura dello spazio maschera dietro ad una facciata di semplicità contiene invece tante difficoltà matematiche che esulavano dallo scopo di questi miei articoli nei quali spero si riconosca che ho cercato di parlare più di idee che di nozioni.  

BREVE NOTA BIOGRAFICA

Maria Pia Strocchi, nata a Firenze il 20-01-1933, laureata in matematica e fisica, sposata e madre di tre figli, ha lavorato per 20 anni in laboratori di fisica di Licei Scientifici di Firenze per lezioni sperimentali di Fisica per poi passare all’insegnamento.